Практическая реализация принципа оптимальности в экономике

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х1 шт. - количество акций «Дикси-Е»; х2 шт. - количество акций «Дикси-В», тогда количество приобретаемых акций:

х1 + х2 <= 6000;

причем х1 <= 5000; x2 <= 5000;

вложенные средства должны составить:

х1 + 3х2 <= 25 000 долл.;

а максимальная прибыль выразится функцией:

F = 1,1x1 + 0,9x2 ®max

Получили задачу оптимизации:

найти максимальное значение линейной функции

F = 1,1x1 + 0,9x2 при ограничениях:

х1 +х2 <= 6000

х1 + 3х2 <= 25000

≤ х1 ≤ 5000; 0 ≤ х2 ≤ 5000

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х1Ох2 на плоскости изобразим граничные прямые

х1 + х2 = 6000 (L1);

х1 + 3x2 = 25000 (L2);

х1+90х2 = 0 (F);

x1 = 5000 (L4); х2 = 5000 (L3)

Установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

В результате имеем пятиугольник АВСDO.

Построим вектор N = (5500; 4500) и прямую 1,1х1 + 0,9х2 = 0 (F). Перемещаем прямую F параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она выйдет из многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке С; в точке С линейная функция принимает максимальное значение.

Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L2; для определения ее координат решим систему уравнений:

х1 + х2 = 6000

х1 + 3x2 = 25000 . Имеем: х1 = 3500; х2 = 2500.

Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем:

Fmax = 1,1×3500 + 0,9×2500 = 3850 + 2250 = 6100.

Для того, чтобы обеспечить максимум прибыли (6100 долл.), необходимо приобрести 3500 акций «Дикси-Е» и 2500 акций «Дикси-В».

Если решить эту задачу на минимум, то получим, что вообще ничего не надо приобретать, т.к. функция достигает своего минимального значения в точке (0; 0).

Задание № 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице: